বাইনারি যোগ বিয়োগ - সহজ নিয়ম

বাইনারি যোগ বিয়োগ - শর্ট ও সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি

• বাইনারি যোগ বিয়োগ কি বা কাকে বলে
• বাইনারি যোগ করার সহজ নিয়ম
• বাইনারি বিয়োগ করার সহজ নিয়ম
• সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে বাইনারি যোগ বিয়োগ

সংখ্যা পদ্ধতিতে বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতি দিন দিন খুবি জনপ্রিয় হয়ে উঠছে। ডিজিটাল ডিভাইস বা যন্ত্র সমূহে বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতির ব্যবহার খুব ব্যাপক ও বিস্তৃত। পাঠ্য বইয়ে আইসিটি (ICT) বিষয় যুক্ত হওয়ায় বাইনারি পদ্ধতিতে যোগ বা বাইনারি পদ্ধতিতে বিয়োগ প্রক্রিয়া ছাত্র-ছাত্রীদের এক ঝামেলার বিষয় বলেই মনে হয়। সমস্ত সমস্যা সমাধান করতে আমাদের আজকের আলোচনা সহজ, সংক্ষিপ্ত বা শর্ট নিয়ম বা পদ্ধতি বা কৌশল ব্যবহার করে বাইনারি পদ্ধতিতে যোগ ও বাইনারি পদ্ধতিতে বিয়োগ করার নিয়ম বা কৌশল নিয়ে।

বাইনারি যোগ কি বা কাকে বলেঃ

বাইনারি যোগ বলতে একাধিক বাইনারি সংখ্যার যোগ করে যোগফল বের করাকে বোঝায়। দশমিক সংখ্যায় আমরা সাধারন্ত ১ ও ১ যোগ করে যোগফল ২ বের করি কতো সহজেই, অর্থাৎ ১+১=২। কিন্তু বাইনারিতে ০ এবং ১ ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা ব্যবহার করা হয় না বলে ১ ও ১ এর বাইনারি যোগফল ১+১= ২ লেখা যায় না। সুতারং যে পদ্ধতি বা কৌশল ব্যবহার করে একাধিক বাইনারি সংখ্যা যোগ করে একটি বাইনারি যোগফল বের করা হয় সেই পদ্ধতি বা কৌশল বা নিয়ম কে বাইনারি সংখ্যার যোগ বলে।

বাইনারি যোগ করার আগে যা জানা প্রয়োজনঃ

বাইনারি সংখ্যার যোগ করার জন্য আমাদের প্রথমেই   ২ দ্বারা ভাগের নিয়ম সম্পর্কে ধারনার্জন করতে হবে। মনে রাখতে হবে ২ দ্বারা কোন জোড় সংখ্যাকে ভাগ করলে সর্বদা ভাগশেষ ০ হয় অর্থাৎ পুরোপুরি সংখ্যাটিকে ২ দিয়ে ভাগ করা যায়। আবার, ২ দ্বারা কোনো বিজোড় সংখ্যাকে ভাগ করলে সর্বদা ভাগশেষ ১ হয় অর্থাৎ ২ দিয়ে কোনো বিজোড় সংখ্যা সম্পূর্ণ ভাবে ভাগ করা যায় না। ১২ একটি জোড় সংখ্যা একে ২ দিয়ে ভাগ করলে দাঁড়ায় ১২÷২=৬ অর্থাৎ এখানে ভাগফল ৬। আবার ২৩ কে ২ দিয়ে ভাগ করলে দাঁড়ায়, ২৩÷২ যা পূর্ণ ভাবে করা যায় না। ভাগ করতে গেলে ২৩ থেকে ১ বিয়োগ করে ভাগ করতে হবে, অর্থাৎ (২৩-১)÷২ করলে ভাগফল ১১ হবে। সুতারং এটা বলা যায় -

• ২ দিয়ে সকল জোড় সংখ্যাকে ভাগ করা যায়।
• ২ দিয়ে কোনো বিজোড় সংখ্যাকে ভাগ করতে হলে ১ বিয়োগ করে নিতে হয়।

বাইনারি যোগ করার সহজ নিয়ম বা পদ্ধতিঃ

বাইনারি যোগ করতে ২ দিয়ে কোনো জোড় ও বিজোড় সংখ্যাকে ভাগ করার নিয়ম অনুসরণ করলেই হবে। কি সহজ তাই না? এখনো নিশ্চয় ব্যপারটি বুঝে উঠতে পারো নি তাই না? এসো বিষয়টি আরো সহজ করে দি। বাইনারি সংখ্যা যোগ করতে যে সকল সংখ্যা যোগ করে যোগফল বের করতে হবে তাদের দশমিক বা আমরা যেভাবে সাধারণ সংখ্যা যোগ করি সে নিয়মে যোগ করে দেখতে হবে যে যোগফল জোড় না বিজোড়। যদি যোগফল জোড় হয় তবে  উত্তর হবে ০ এবং জোড় সংখ্যাকে  ২ দ্বারা ভাগ করলে যে উত্তর পাওয়া যাবে তা ক্যারি বা হাতে ধরে রাখতে হবে। অর্থাৎ সাধারণ নিয়মে ভাগ করে যে ভাগফল পাওয়া যায় তা বাইনারির ক্যারি বা হাতে রাখতে হবে এবং সংখ্যাটি জোড় বলে বাইনারি যোগে উত্তর ০ হবে।

অন্যদিকে সাধারণ বা দশমিক বা আমরা যেভাবে যোগ করি সে ভাবে যোগ করে যোগফল যদি বিজোড় হয় তবে বাইনারির উত্তর হবে ১ এবং বিজোড় সংখ্যা  ২ দ্বারা ভাগ করা যায় না বলে ১ বিয়োগ করে তার পর ২ দ্বারা ভাগ করতে হবে এবং যে ভাগফল হবে সেই ভাগফল কে ক্যারি বা হাতে ধরে রাখতে হবে।

মনে রাখতে হবে-

• সাধারণ নিয়মে যোগ করে যোগফল জোড় হলে বাইনারি উত্তর সর্বদা ০ হবে।
• সাধারণ নিয়মে যোগ করে যোগফল বিজোড় হলে বাইনারি উত্তর সর্বদা ১ হবে।
• সাধারণ নিয়মে যোগ করে পাওয়া যোগফল জোড় হলে উত্তর ০ লেখার পর যোগফলকে ২ দিয়ে ভাগ করে যে উত্তর হবে তা হাতে ধরে রেখে পরের সংখ্যা গুলোর সাথে যোগ করতে হবে। অর্থাৎ যোগফল ২৪ বা এমন কোনো জোড় সংখ্যা হলে উত্তর হবে ০ এবং হাতে ধরতে হবে, ২৪÷২=১২, যা পরের সংখ্যার সাথে যোগ করতে হবে।
• সাধারণ নিয়মে যোগ করে পাওয়া যোগফল বিজোড় হলে উত্তর ১ লেখার পর যোগফল থেকে ১ বিয়োগ করে তাকে ২ দিয়ে ভাগ করে যে উত্তর হবে তা হাতে ধরে রেখে পরের সংখ্যা গুলোর সাথে যোগ করতে হবে। অর্থাৎ যোগফল ২৯ বা এমন কোনো বিজোড় সংখ্যা হলে উত্তর হবে ১ এবং ক্যারি বা হাতে ধরতে হবে (২৯-১)÷২=২৮÷২=১৪, যা পরের সংখ্যা গুলোর সাথে যোগ করতে হবে, এখানে ২৯ বিজোড় তাই ২ দিয়ে ভাগ করা যায় না বলে ১ বিয়োগ করে নিতে হবে।

বিষয়টি উদাহরণের মাধ্যমে বোঝানো হলোঃ

মনে করি ১০১১, ১১১১, ১১১০ এবং ১১০১ এর যোগ করে যোগফল বের করতে হবে। 

বাইনারি যোগ ও বিয়োগ

 

ধাপ-১

এখানে একক স্থানে থাকা ১, ১, ০ ও ১ এর সাধারণ নিয়মে যোগ করলে যোগফল হবে ৩ যা বিজোড় আর বিজোড় সংখ্যা হলেই বাইনারি উত্তর হবে ১। অন্যদিকে ৩ বিজোড় বলে ২দ্বারা ভাগ করা যায় না ফলে ১ বিয়োগ করে ভাগ করলে হবে (৩-১)÷২=১ সুতারং হাতে থাকবে ১।

 

ধাপ-২

এবার দশক স্থানে থাকা অঙ্ক গুলোর যোগফল বের করতে গেলে দশক স্থানে থাকা ১, ১, ১ এবং ০ এর সাথে আগের হাতে থাকা ১ সাধারণ নিয়মে যোগ করলে যোগফল হবে, ১+১+১+০+১=৪ যা জোড় সুতারং বাইনারি উত্তর ০ হবে। অন্যদিকে ৪÷২=২ সুতারং হাতে থাকবে ২।

ধাপ-৩

এবার শতক স্থানে থাকা অঙ্ক গুলোর যোগফল বের করতে গেলে শতক স্থানে থাকা ০, ১, ১ এবং ১ এর সাথে আগের হাতে থাকা ২ এর সাধারণ নিয়মে যোগ করলে যোগফল হয়, ০+১+১+১+২=৫ যা বিজোড় সুতারং বাইনারি উত্তর ১ হবে। অন্যদিকে ৫ বিজোড় বলে ২দ্বারা ভাগ করা যায় না ফলে ১ বিয়োগ করে ভাগ করলে হবে (৫-১)÷২=২ সুতারং হাতে থাকবে ২।

ধাপ-৪

এবার সহস্র বা হাজার স্থানে থাকা অঙ্ক গুলোর সাথে হাতে থাকা ২ যোগ করলে যোগফল ১+১+১+১+২=৬ যা জোড়, সুতারং বাইনারি উত্তর ০ হবে। অন্যদিকে ৬÷২=৩ সুতারং হাতে থাকবে ৩। 

ধাপ-৫

এর পর আর কোনো সংখ্যা না থাকায় এই হাতে থাকা ৩ কে আবার ২ দিয়ে ভাগ করতে হবে। অন্যদিকে হাতে থাকা ৩ বিজোড় সূতারং বাইনারি উত্তর ১ হবে। কিন্তু ৩ কে ২ দিয়ে ভাগ করা যায় না বলে ১ বিয়োগ করে তার পর ২ দ্বারা ভাগ করলে হবে (৩-১)÷২=১ অর্থাৎ হাতে থাকবে ১। 

ধাপ-৬

অন্যদিকে হাতে থাকা আগের ১ যেহেতু ২ থেকে ছোট সুতারং আর ২ দিয়ে ভাগ না করে ক্যারি হিসেবে ধরে সকল উত্তর বসানোর পর উত্তরের আগে অর্থাৎ বামে বসাতে হবে।

সুতারং, ১০১১+১১১১+১১১০+১১০১ করলে উত্তর হবে, শেষমেশ হাতে থাকা ১ + এর আগের উত্তর ১ + সহস্র বা হাজারে থাকা অঙ্কের উত্তর ০ + শতকে থাকা অঙ্কের উত্তর ১ + দশকে থাকা অঙ্কের উত্তর ০ + এককে থাকা অঙ্কের উত্তর ১ অর্থাৎ উত্তর হবে, ১১০১০১। সুতারং ১০১১+১১১১+১১১০+১১০১=১১০১০১

আরো ভালো করে বুঝতে নিচের চিত্র লক্ষ্য করো- 

বাইনারি যোগ

চিত্রে-

• একক স্থানে, ১+১+০+১=৩ যা বিজোড় বলে উত্তর ১ এবং (৩-১)÷২=২÷২=১ বলে ক্যারি ১
• দশক স্থানে ১+১+১+০+ক্যারি১=৪ যা জোড় বলে উত্তর ০ এবং ৪÷২=২ বলে ক্যারি ২
• শতক স্থানে ০+১+১+১+ক্যারি২=৫ যা বিজোড় বলে উত্তর ১ এবং (৫-১)÷২=২ বলে ক্যারি ২
• হাজার বা সহস্র স্থানে ১+১+১+১+ক্যারি২=৬ যা জোড় বলে উত্তর ০ এবং ৬÷২=৩ বলে ক্যারি ৩
• আর কোনো সংখ্যা না থাকায়, ৩ কে আগের নিয়মে করতে হবে, অর্থাৎ ৩ বিজোড় বলে উত্তর হবে ১ এবং (৩-১)÷২=১ বলে ক্যারি ১
• অন্যদিকে আগের ক্যারি ১ যা ২ থেকে ছোট হওয়ায় এখানেই অংকের শেষ এবং এই ক্যারি উত্তরের সর্ব বামে বসালেই বাইনারি যোগের মোট উত্তর পাওয়া যাবে

বেস শিখে ফেললে তো বাইনারি যোগের সহজ আর নতুন কৌশল। এবার শিখবো বাইনারি বিয়োগের নতুন নিয়ম বা কৌশল।

বাইনারি বিয়োগ করার নিয়মঃ

বাইনারি বিয়োগ(Minus) কিছু নিয়ম মেনে চলে। বিয়োগ করতে গেলে বাইনারি ঠিক দশমিকের নিয়ম মেনে বিয়োগফল প্রকাশ করে। আজ আমরা একটি সহজ ও ভিন্ন কৌশলে দশমিক নিয়মে বাইনারি বিয়োগ করার পদ্ধতি শিখবো। বাইনারিতে বিয়োগ করতে গেলে ঠিক দশমিক বিয়োগের মতই আগের সংখ্যা থেকে পরের সংখ্যা বিয়োগ করতে হবে।

• আগের সংখ্যা নিচের সংখ্যা থেকে ছোট হলে দশমিক নিয়মে তার আগে ১ ধরে বড় সংখ্যা করা হয় অন্যদিকে বাইনারিতে আগের সংখ্যার সাথে ২ যোগ করে বড় করে বড় সংখ্যা করে তার পর বিয়োগ করতে হয়।
• দশমিক নিয়মে কোন সংখ্যার আগে ১ ধরে বড় করলে হাতে থাকে ১ একই ভাবে বাইনারিতে আগের সংখ্যার সাথে ২ যোগ করলে হাতে ১ থাকে।
• দশমিক নিয়মে হাতে থাকা ১ তার পরের ঘরে নিচের সংখ্যার সাথে যোগ হয়ে যায়, বাইনারি নিয়মেও একি ভাবে যোগ হয়ে যায় এবং যোগ হওয়ার পর তার পর বিয়োগ করতে হয়।

বিষয়টি ভালো করে বুঝতে দশমিক বিয়োগ বুঝে নিঃ

মনে করি ৩৫ থেকে ১৭ বিয়োগ করতে হবে, অর্থাৎ, ৮৫-২৭ = কত? সেটা নির্ণয় করতে হবে। ৮৫ থেকে ২৭ বিয়োগ করতে প্রথমে এককের ঘরে থাকা উপরের সংখ্যার ৫ থেকে নিচের সংখ্যার ৭ বিয়োগ করতে হবে, কিন্তু ছোট সংখ্যা থেকে বড় সংখ্যা বিয়োগ হয় না বলে ৫ এর আগে ১ ধরে বড় করতে হবে, অর্থাৎ ৫ হয়ে যাবে ১৫, এখন ১৫ থেকে ৭ বিয়োগ করলে উত্তর হবে ৮। এবার দশকে উপরে থাকা ৮ থেকে নিচের ২ বিয়োগ করার কথা, কিন্তু এককে বিয়োগ করার সময় ৫ কে বড় করার জন্য ১৫ করা হয়েছিল বলে হাতে ১ ছিলো, এখন সেই ১ কে দশকে উপরে থাকা ৮ থেকে নিচে থাকা ২ বিয়োগ করার আগে  নিচের ২ এর সাথে যোগ করতে হবে অর্থাৎ নিচের ২ হয়ে যাবে (২+১)=৩। অর্থাৎ এখন ৮ থেকে ২ বিয়োগ না করে বিয়োগ করতে হবে ৮ থেকে ৩। সুতারং ৮-৩ =৫ হবে। তাহলে এককের বিয়োগফল ছিল ৮ এবং দশকের বিয়োগফল ছিল ৫।  সুতারং ৮৫-২৭=৫৮ হবে।

উপরের দশমিক নিয়মের মতোই বাইনারি বিয়োগ, পার্থক্য হলো, দশমিক নিয়মে উপরের সংখ্যা ছোট হলে তার আগে ১ ধরতে হয় কিন্তু বাইনারি তে সংখ্যার আগে ১ না ধরে সংখ্যার সাথে ২ যোগ করতে হয়। ২ যোগ করলেও হাতে ২ থাকে না হাতে দশমিকের মতই ১ থাকে।

উদাহরণের সাহায্যে বিষয়টি আরো সহজ করা হলোঃ

মনেকরি ১১০১ থেকে ১০১১ বিয়োগ করতে হবে। অর্থাৎ ১১০১-১০১১ নির্ণয় করতে হবে। 

ধাপ-১

আগের সংখ্যা ১১০১ এ একক স্থানে থাকা ১ থেকে প্রথমে নিচের সংখ্যা ১০১১ এর এককে থাকা ১ এর বিয়োগ করতে হবে। ১-১ করলে হয় ০, সুতারং উত্তর ০ হবে।

ধাপ-২

এবার ১১০১ সংখ্যাটিতে দশকে থাকা ০ থেকে ১০১১ এর দশকে থাকা ১ এর বিয়োগ করতে হবে। অর্থাৎ ০-১, কিন্তু ১ থেকে ০ ছোট হওয়ায় ০ এর সাথে ২ যোগ করে বড় করতে হবে অর্থাৎ ০+২=২ করে নিতে হবে। এবার ২-১ করলে হবে ১, সুতারং উত্তর হবে ১।

ধাপ-৩

আগের ধাপে ২ যোগ করা হয়েছিল তাই হাতে ছিল ১, এবার ১১০১ সংখ্যাটিতে শতকে থাকা ১ থেকে ১০১১ এর শতকে থাকা ০ এর বিয়োগ করতে হবে, অর্থাৎ ১-০ করতে হবে কিন্তু আগের হাতে থাকা ১ এখানে ০ এর সাথে যোগ করে তবেই বিয়োগ করতে হবে। অর্থাৎ ১-(০+হাতের১) করতে হবে। ফলে ১-১ করতে হবে। ১-১ =০, অতএব উত্তর ০।

ধাপ-৪

এবার ১১০১ সংখ্যাটিতে হাজারের স্থানে থাকা ১ থেকে ১০১১ সংখ্যাটির হাজারে থাকা ১ এর বিয়োগ করতে হবে। ১-১=০, সুতারং উত্তর ০ হবে।

নির্ণেয় বিয়োগফল হবে,

৪র্থ ধাপের উত্তর-৩য় ধাপের উত্তর-২য় ধাপের উত্তর-১ম ধাপের উত্তর

= ০০১০

অর্থাৎ ১১০১-১০১১=০০১০

আরো একটি উদাহরণ লক্ষ্য করিঃ

১১১০-১১১ নির্ণয় করি।

বাইনারি বিয়োগ

১ম ধাপ-

এককে থাকা ০-১ করতে আগের সংখ্যা ছোট হওয়ায় ০ এর সাথে ২ যোগ করে বিয়োগ করলে হবে (০+২)-১=২-১=১, অতএব এককের উত্তর ১ এবং ২ যোগ করা হয়েছে বলে হাতে থাকবে ১

২য় ধাপ-

দশকে থাকা ১-১ করতে হবে কিন্তু আগের ধাপে ২ যোগ করা হয়েছিল সুতারং হাতে ছিল ১ অতএব ১-(১+১) =১-২ করতে হবে। কিন্তু ১ থেকে ২ বিয়োগ করতে আগের সংখ্যা ছোট হওয়ায় ২ যোগ করে নিতে হবে। অর্থাৎ (২+১)-২ করতে হবে, অর্থাৎ ৩-২=১ হবে, ২য় ধাপে উত্তর হবে ১ এবং ২ যোগ করা হয়েছে বলে হাতে থাকবে ১

৩য় ধাপ-

শতকে থাকা ১-১ করতে আগের ধাপে ২ যোগ করা হয়েছিল বলে হাতে ছিল ১, সুতারং বিয়োগ করতে হবে, ১-(১+১)=১-২ কিন্তু আগের সংখ্যা ছোট হয়ে যাচ্ছে বলে এক্ষেত্রে ২ যোগ করে নিলে হবে, (১+২)-২=৩-২=১, অর্থাৎ উত্তর ১ এবং ২ যোগ করা হয়েছে বলে হাতে থাকবে ১

৪র্থ ধাপ

হাজারের ঘরে উপরের সংখ্যায় ১ আছে কিন্তু নিচের সংখ্যায় কোন অঙ্ক নেই, কিন্তু আগের ধাপে হাতে ১ ছিল, সুতারং ১ থেকে হাতে থাকা ১ বিয়োগ করতে হবে। ১-হাতে থাকা১ = ১-১ =০, অতএব উত্তর ০ হবে।

অতএব, বিয়োগফল হবে, ১১১০-১১১=০১১১