চতুর্ভুজের সূত্রাবলী

গণিত শেখার সহজ পদ্ধতি পাঠ -৩ চতুর্ভুজ

বর্গ, সামান্তরিক, আয়ত, রম্বসের সূত্রাবলী

পরিমিতি সহ চতুর্ভুজাকৃতিক ক্ষেত্র সমূহে ক্ষেত্রফল, দৈর্ঘ্য, প্রস্থ বা পরিসীমা নির্ণয়ের গুরুত্ব ও ভূমিকা অপরিসীম। দৈনন্দিন জীবনে জমির পরিমাপ সহ নানা প্রকার প্রয়জনীয় আসবাবপত্র পরিমাপে ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের ভূমিকা অতিব প্রয়োজনীয়। আজ আমরা শিখব চতুর্ভুজাকৃতিক ক্ষেত্র সমূহ যেমন, আয়ত, সামান্তরিক, বর্গ, রম্বস, ট্রাপিজিয়াম, ঘুড়ি ইত্যাদির ক্ষেত্রফল নির্ণয়, কর্ণ নির্ণয়, দৈর্ঘ্য নির্ণয়, প্রস্থ নির্ণয়, পরিসীমা নির্ণয় সহ এসকল ক্ষেত্র সমূহের বৈশিষ্ট্যাবলী।

চতুর্ভুজ

শিক্ষার্থী বন্ধুরা আশাকরি সকলে ভালোছিলে এবং ভালো আছ। গত পর্বে আমাদের আলোচনার বিষয় ছিল বীজগণিতে কমন নেওয়ার পদ্ধতি সমূহ। আজ আমাদের আলোচনার বিষয় চতুর্ভূজ সম্পর্কিত বিভিন্ন ক্ষেত্র সমূহের পরিমাপ নির্নয় ও বৈশিষ্ট্য সমূহ। পরিমাপের ক্ষেত্রে চতুর্ভুজের ভূমিকা অপরিসীম। এছাড়া পরিমিতিতে এর ব্যবহার ব্যপক ও বিস্তৃত। এছাড়া সম্পাদ্য, উপপাদ্য বা জ্যামিতি সহ বীজগণিত বা পাটিগণিতে ক্ষেত্রফল নির্ণণয়ে রয়েছে চতুর্ভুজের ব্যবহার। তা বন্ধুরা তাহলে আর কথা নয় শুরু করা যাক সহজ পদ্ধতিতে চতুর্ভূজ সম্পর্কিত বিষয়াদি শেখার কৌশল সমূহ।

প্রথমে জেনে নি চতুর্ভুজ কি?

সাধারন্ত চারটি রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রকে চতুর্ভুজ বলে। অর্থাৎ যে সকল ক্ষেত্র চারটি বাহু দ্বারা আবদ্ধ তাকে চতুর্ভুজ ক্ষেত্র বলে।

চতুর্ভুজের প্রকারভেদঃ

পূর্বেই জেনেছি যে চারটি রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রকে চতুর্ভূজ বলে। চারটি রেখা দ্বারা আবদ্ধ সকল ক্ষেত্র সমূহ দেখতে সমান নয়। বৈশিষ্ট্য গত দিক বিবেচনা করে এসকল ক্ষেত্র সমূহকে সাধারন্ত কয়েকটি ভাগে ভাগ করা যেতে পারে যথা, আয়ত, সামান্তরিক, বর্গ, রম্বস, ট্রাপিজিয়াম বা ট্রাপিজিয়ম, ঘুড়ি এবং সমান্তরালহীন বিষম বাহু বিশিষ্ট চতুর্ভুজ। নিম্নে এগুলো সম্পর্কে আলোচনা করা হল। আশা করি শর্ট ভাবে এগুলোর বৈশিষ্ট্য সমূহ মনে রাখার মাধ্যমে গাণিতিক সমস্যাবলীর দ্রুত ও সহজে সমাধান করতে পারবে।

বিভিন্ন প্রকার চতুর্ভুজের শর্ট টিপস

• সামান্তরিকঃ

  

  সামান্তরিক

  
  

  যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহু দ্বয় সমান ও সমান্তরাল এবং কোন কোণ-ই সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।  

  ক্ষেত্রফল= ভূমি × উচ্চতা / কর্ণ × ক থেকে বিপরীত কৌনিক বিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব। 

  পরিসীমা= ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) / আয়তের সূত্র প্রয়োগ করলেও হবে। 

  কর্ন দ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, কর্ণ দ্বয় যে চারটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে তাদের বিপরীত ত্রিভূজ দ্বয় সর্বসম, যে কোন একটি কর্ণ সামান্তরিক কে দুটি সর্বসম ত্রিভূজে বিভক্ত করে।

• আয়তঃ

  

  আয়ত

  
  
  যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহু গুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণ গুলো সমকোণ তাকে আয়ত বলে। 
  ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ / সামান্তরিকের সূত্র প্রয়োগ করলেও চলবে। 
  পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) / সামান্তরিকের সূত্র প্রয়োগ করলেও চলবে। 
  কর্ণ² = দৈর্ঘ্য² + প্রস্থ² 
  কর্ণ দ্বয় পরস্পর সমান, কর্ণ দ্বয় পরস্পরকে সমান চারটি খন্ডে বিভক্ত করে, কর্ণ দ্বয় যে চারটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে তাদের বিপরীত ত্রিভূজ দ্বয় সর্বসম, যে কোন একটি কর্ণ আয়ত কে দুটি সর্বসম ত্রিভূজে বিভক্ত করে।
• বর্গঃ

  

  বর্গ

  
  
  যে চতুর্ভুজের প্রত্যেকটি বাহু পরস্পর সমান এবং কোন গুলো সমকোণ তাকে বর্গ বলে। 
  ক্ষেত্রফলঃ এক বাহু² / আয়তের সূত্র প্রয়োগ করলেও চলবে। 
  পরিসীমাঃ ৪ × একবাহু / আয়তের সূত্র/ সামান্তরিকের সূত্র/ রম্বসের সূত্র প্রয়োগ করলেও হবে। 
  কর্ণ² = ২ × একবাহু² / আয়তের সূত্র প্রয়োগ করলেও হবে। 
  কর্ণ দ্বয় পরস্পর সমান, কর্ণ দ্বয় পরস্পরকে সমান চারটি খন্ডে বিভক্ত করে, কর্ণ দ্বয় যে চারটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে তারা পরস্পর সর্বসম, যে কোন একটি কর্ণ বর্গ কে দুটি সর্বসম ত্রিভূজে বিভক্ত করে, কর্ণ দ্বয় ছেদ বিন্দুতে সমকোণ উৎপন্ন করে।
• রম্বসঃ

  

  রম্বস

  
  
  যে চতুর্ভুজের প্রত্যেকটি বাহু পরস্পর সমান কিন্তু কোণ গুলো সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে। 
  ক্ষেত্রফলঃ সামান্তরিকের সূত্র প্রয়োগ করতে হবে। 
  পরিসীমাঃ ৪ × একবাহু / আয়তের সূত্র / সামান্তরিকের সূত্র/ বর্গের সূত্র প্রয়োগ করলেও হবে। 
  কর্ণ দ্বয় পরস্পর সমান, কর্ণ দ্বয় পরস্পরকে সমান চারটি খন্ডে বিভক্ত করে, কর্ণ দ্বয় যে চারটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে তাদের বিপরীত ত্রিভূজ দ্বয় পরস্পর সর্বসম, যে কোন একটি কর্ণ রম্বস কে দুটি সর্বসম ত্রিভূজে বিভক্ত করে, কর্ণ দ্বয় ছেদ বিন্দুতে সমকোণ উৎপন্ন করে।
• ট্রাপিজিয়াম বা ট্রাপিজিয়মঃ

  

  ট্রাপিজিয়ম

  
  
  যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু কোন বাহুই সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বা ট্রাপিজিয়ম বলে। 
  ক্ষেত্রফলঃ ½ × সমান্তরাল বাহু দ্বয়ের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহু দ্বয়ের দূরত্ব 
  ট্রাপিজিয়ামের কোন বাহু-ই সমান নয়, দুটি ত্রিভুজে ও একটি আয়তে বিভক্ত করে ট্রাপিজিয়মের ক্ষেত্রফল বের করা যায়।
• ঘুড়িঃ

  

  ঘুড়ি

  
  
  যে চতুর্ভুজের দুটি সন্নিহিত বাহু জোড়া পরস্পর সমান তাকে ঘুড়ি বা ঘুড়ি আকৃতি ক্ষেত্র বলে। পরিসীমা= ২ (সন্নিহিত বাহু দুটির যোগফল) 
• সমান্তরালহীন বিষমবাহুঃ

  

  সমান্তরালহীন বিষমবাহু 

  
  
  উপরোক্ত চতুর্ভুজ গুলি ছাড়াও এমন এক ধরনের চতুর্ভুজ রয়েছে যার কোন বাহুই সমান নয় এবং কোণ গুলোর কোনটিই সমান নয় তাকে বিষম বাহু বিশিষ্ট চতুর্ভূজ বলা যেতে পারে।

পরিসীমা= চারটি বাহুর যোগফল। 

প্রিয় শিক্ষার্থী বন্ধুরা এবার কিছু বিষয় সম্পর্কে মনে রাখা প্রয়োজন। মনে রাখতে হবে যে, ৯০° এর সমান কোণ কে সমকোণ বলে। এর চেয়ে বড় কোন কে স্থুলকোণ বলে এবং এর চেয়ে ছোট কোন কে সুক্ষকোণ বলে। কিছু চতুর্ভুজের কোন গুলো সমকোণ আবার কিছু চতুর্ভুজের কোণ গুলো সুক্ষকোণ ও স্থুলকোণ এর মিশ্রণ। এছাড়া আরেকটি বিষয় অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে, প্রতিটি চতুর্ভুজের কোণ গুলোর যোগফল বা সমষ্টি ৩৬০° বা চার সমকোণের সমান। অন্যদিকে কোন চতুর্ভুজের বিপরীত বাহু গুলো সমান হলে বিপরীত কোণ গুলোও পরস্পর সমান হবে। এছাড়া আরো একটি বিষয় লক্ষ্যনীয় যে চতুর্ভুজের কোণ গুলো সমকোণ এবং বাহু গুলো সমান হলে কর্ণ গুলোও পরস্পর সমান হবে। সাধারন্ত চতুর্ভুজে বিপরীত কৌণিক বিন্দুগুলোর যোগফলকে কর্ণ বলে তাই একটি চতুর্ভুজে দুটি কর্ণের বেশি কখনই থাকা সম্ভব নয়।

প্রিয় বন্ধুরা আশাকরি আয়ত, সামান্তরিক, বর্গ, রম্বস, ট্রাপিজিয়ম, ঘুড়ি বা বিষম ও অসম বাহু বিশিষ্ট চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল, পরিসীমা ও এদের বৈশিষ্ট্য সমূহ খুব সহজে ও শর্ট পদ্ধতিতে মনে রাখতে পারবে। এখন পরিমিতি, বীজগণিত, সম্পাদ্য, উপপাদ্য বা পাটিগণিত এর সমস্যাগুলো সমাধান করতে পারবে আরো সহজে। পরীক্ষায় ভালো করা শুধু নিজেকে সঠিক ভাবে প্রস্তুত করা ও কিছু টেকনিক বা পদ্ধতি অনুসরন করার মাধ্যমেই সম্ভব। আশাকরি সকলে এখন থেকে নিজেকে সঠিক ভাবে প্রস্তুত করতে পারবে।

নিজে করঃ

নিচের প্রশ্ন গুলোর উত্তর দাও। দেখি কেমন পার।

a) বর্গের কর্ন গুলোর সম্পর্ক কেমন?

b) সামান্তরিকে কয়টি সমকোন থাকে?

c) আয়ত কে কি সামান্তরিক বলা যায়?

d) একটি ঘুড়ি একে সমান সমান বাহু চিহ্নিত কর।

e) ট্রাপিজিয়মের কয়টি সমান্তরাল বাহু থাকে?

f) একটি বর্গের কর্ন দুটি যে চারটি ভাগে বিভক্ত হয় তারা কেমন?

g) একটি আয়তের ক্ষেত্রফল দুটি সমকোনী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সমান, তাই কি? সত্য হলে প্রমান করে দেখাও।

h) রম্বসের কর্ন দ্বয় যে চারটি চতুর্ভুজে বিভক্ত করে যে গুলি কি সর্বসম?

i) একটি ট্রাপিজিয়মের সমান্তরাল বাহু দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৫ মি. ও ১০ মি. এবং এদের দূরত্ব ৬ মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

j) আয়ত ক্ষেত্রের সন্নিহিত বাহু দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৫ মি. এবং ১০ মি. হলে ক্ষেত্রটির একটি কর্নের দৈর্ঘ্য কত হবে?

k) রম্বসের এবং সামান্তরিকের একটি পার্থ্যক্য লিখ।

l) প্রমান কর যে যদি কোন আয়তের সন্নিহিত বাদু দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১০ মি. এবং ২০ মি. এবং তা কোন সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুর সমান হলে তাদের ক্ষেত্রফল সমান।

m) বর্গের এক বাহু 7 মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

n) একটি রম্বসের পরিসীমা কি বর্গের পরিসীমার সমান? যদি সমান হয় তবে তা কেন?

o) ৪মি, ৫মি, ৬মি, ৭মি যথাক্রমে কোন ট্রাপিজিয়মের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য হলে ট্রাপিজিয়মের পরিসীমা কত হবে?

p) বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে এর কর্ন দ্বয়ের সমষ্টি কত হবে?

q) রম্বসে অবশ্যই দুটি স্থুল কোন থাকবে, সত্য না মিথ্যা?

r) প্রমান কর যে একটি সামান্তরিকের পরিসীমা একটি আয়তের পরিসীমার সমান।

উপরোক্ত আলোচনা সমূহ আশাকরি শিক্ষার্থী বন্ধু তোমাদের খুবি ভালো লেগেছে। আমার বিশ্বাস আলোচনা টুকু তোমাদের খুব কাজে লাগবে। বারবার অনুশীলন আর সমস্যার সমাধানের চেষ্টার মাধ্যমে নিজেকে গড়ে তোলা যায় গনিতের জাহাজ রূপে। আশাকরি সকলের শেখার চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের কোন সমস্যা হলে এখানে কমেন্ট অথবা আমাদের সাথে যোগাযোগ করতে ভুলোনা। তোমাদের উৎসাহ পেলে হাজির হব অন্য কোন বিষ্য নিয়ে। সেই প্রত্যাশা রেখে আজ এ পর্যন্তই।

কে-মাহমুদ

৬-১২-২০১৯