দুটি বর্গের অন্তর রূপে প্রকাশ

দুটি রাশির বর্গের অন্তর রূপে প্রকাশের সহজ নিয়ম

এখানে যা থাকছে-

• দুটি বর্গের অন্তর রূপ
• দুটি রাশির বর্গের অন্তর রূপে প্রকাশের সহজ নিয়ম
• দুটি বর্গের অন্তর রূপে প্রকাশের সূত্র ও কৌশল

দুটি রাশির বর্গের অন্তর

দুটি বর্গের অন্তর বলতে কি বোঝায় বা কাকে বলেঃ

আমরা জানি বর্গের ক্ষেত্রফল এক বাহুর বর্গ বা স্কয়ার (square)।  কোনো বর্গের এক বাহু a হলে তার বর্গ বা ক্ষেত্রফল হবে a² । সেই রূপ অপর একটি বর্গের এক বাহু b হলে তার বর্গ বা ক্ষেত্রফল হবে b²। অন্যদিকে অন্তর বলতে বিয়োগ বোঝানো হয়। সুতারং এখানে দুটি বর্গের অন্তর রূপ হবে a² - b² বা (১ম)² - (২য়)²। অর্থাৎ দুটি বর্গের বিয়োগফল কেই দুটি বর্গের অন্তর রূপে প্রকাশ করা বোঝায়।

দুটি বর্গের অন্তর রূপে প্রকাশের সূত্র সমূহঃ

আমরা আগেই জেনেছি দুটি বর্গের অন্তর বলতে,  ১ম² - ২য়² বোঝানো হয়ে থাকে। সুতারং বীজগণিতে হোক বা পাটিগণিতে হোক যে সকল সূত্রে আমরা ১ম² - ২য়² দেখতে পায় সে সকল সূত্র কে দুটি বর্গের অন্তর রূপ বলা যেতে পারে। বীজগণিতে দুটি বর্গের অন্তর রূপে প্রকাশের ২ টি সূত্র রয়েছে। যথা-

• ১. a²-b² যা (a+b)(a-b) এর সূত্র
• ২. {(a+b)÷2}² - {(a-b)÷2}² যা ab এর সূত্র

গড় নির্ণয়ের সকল সূত্র- ক্লিক >> ত্রিভুজের সূত্র সমূহ- ক্লিক >> দুটি বর্গের সমষ্টি রূপ- ক্লিক >> Link শর্ট করে আয়- ক্লিক >>

সূত্র প্রয়োগের নিয়মঃ

যেহেতু আমাদের উত্তর হবে দুটি বর্গের অন্তর রূপ। তাই কোনো অংক বা রাশি (a+b)(a-b) আকারে থাকলে পরিবর্তন করে a²-b² আকারে এবং ab আকারে থাকলে পরিবর্তন করে {(a+b)÷2}² - {(a-b)÷2}² আকারে রূপান্তর করতে হবে। 

বীজগণিতে দুটি রাশির বর্গের অন্তর রূপে প্রকাশঃ

(p+2)(p+4) কে দুটি রাশির বর্গের অন্তর রূপে প্রকাশ করতে নিম্নের নিয়ম অনুসরণ করি-

• ১. ধরি p+2=a এবং p+4=b
• ২. মান বসিয়ে পাই, (p+2)(p+4)=ab, ফলে ab এর সূত্র প্রয়োগ করতে হবে। আমরা জানি, ab = {(a+b)÷2}²-{(a-b)÷2}² এবং এই সূত্রে a=p+2 এবং b=p+4 বসাতে হবে।
• ৩. ab ={(a+b)÷2}²-{(a-b)÷2}² ={(p+2+p+4)÷2}²-{(p+2-p-4)÷2}² [a=p+2 এবং b=p+4 বসানো হয়েছে এবং মাইনাসের পর চিহ্ন পরিবর্তন হয় বলে p+4 চিহ্ন পরিবর্তন হয়ে -p-4 হয়েছে]
• ৪. সরল বা যোগ বিয়োগ করে পাই, ={(2p+6)÷2}²-{(-2)÷2}²
• ৫. পরের ধাপ  ={2(p+3)÷2}²-{(-2)÷2}² [2 কমন নেওয়া হয়েছে]
• ৬.  এর পরের ধাপ ={(p+3)}²-{(-1)}² [উভয় অংশ ভাগের পরে থাকা 2 দ্বারা ভাগ করা হয়েছে]
• ৭. =(p+3)²-(1)² [অতিরিক্ত ব্রাকেট তুলে দেওয়া হয়েছে এবং মাইনাস এর বর্গ বা স্কয়ার প্লাস বলে (-1)² এর স্থলে (1)² লেখা হয়েছে]
• ৮. অতএব দুটি রাশির বর্গের অন্তর =(p+3)²-(1)² বা, =(p+3)²-1²

অর্থাৎ, উপরের ধাপ গুলো পর্যায় ক্রমে অনুসরণ করে সরল করলে দাড়াবে-

(p+2)(p+4)

=ab [p+2=a এবং p+4=b ধরে]

={(a+b)÷2}²-{(a-b)÷2}² 

={(p+2+p+4)÷2}²-{(p+2-p-4)÷2}² [a ও b এর মান বসিয়ে]

={(2p+6)÷2}²-{(-2)÷2}²

={2(p+3)÷2}²-{(-2)÷2}²

={(p+3)}²-{(-1)}²

=(p+3)²-(1)² বা, (p+3)²-1² এটিই দুটি রাশির বর্গের অন্তর রূপ।

উপরের রাশি টি (p+2)(p+4) আকারে না থেকে p²+6p+8 আকারে থাকলে প্রথমে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে তার পর ab এর সূত্র প্রয়োগ করতে হবে। ধাপ গুলো নিচে দেখানো হলো-

• ১. p²+6p+8
• ২. p²+4p+2p+8 [উৎপাদকে বিশ্লেষণ এর মিডিল টার্ম করে]
• ৩. p(p+4)+2(p+4)
• ৪. (p+2)(p+4)
• ৫. ab [p+2=a এবং p+4=b ধরে]
• ৬. {(a+b)÷2}²-{(a-b)÷2}² 
• ৭. {(p+2+p+4)÷2}²-{(p+2-p-4)÷2}² [a ও b এর মান বসিয়ে]
• ৮. {(2p+6)÷2}²-{(-2)÷2}²
• ৯. {2(p+3)÷2}²-{(-2)÷2}²
• ১০. {(p+3)}²-{(-1)}²
• ১১. (p+3)²-(1)² বা, (p+3)²-1² এটিই দুটি রাশির বর্গের অন্তর রূপ।

পাটিগণিতে দুটি রাশির বর্গের অন্তর রূপে প্রকাশের নিয়মঃ

প্যাটার্ন অধ্যায়ে আমরা দুটি রাশির সমষ্টি রূপের পাশাপাশি দুটি রাশির বর্গের অন্তর রূপে প্রকাশের অংক পেয়ে থাকি। এ ছাড়া পাটিগণিতে দুটি রাশির অন্তর রূপে প্রকাশের মাধ্যমে বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যার সমাধান করা হয়ে থাকে। পাটিগণিতে কোনো সংখ্যাকে দুটি রাশির বর্গের অন্তর রূপে প্রকাশ করতে গেলে নিম্নের ধাপ গুলো অনুসরণ করতে হবে-

• ১. সংখ্যাটিকে যে কোনো দুটি গুণনীয়ক আকারে লিখতে হবে।
• ২. একটি গুণনীয়ক কে a এবং অপরটিকে b ধরতে হবে।
• ৩. ab এর সূত্র প্রয়োগ করতে হবে।
• ৪. সরল করতে হবে।

দুটি সংখ্যার বর্গের অন্তর

নিম্নে  উদাহরণ এর মাধ্যমে বিষয়টি বোঝানো হলো।

২৪ কে দুটি বর্গের অন্তর রূপে প্রকাশ করার ধাপ- 

২৪

=১২ x ২ [এছাড়া ২৪ x ১ বা, ৪ x ৬ বা ৩ x ৮ আকারেও লেখা যেতে পারে]

=ab [১২=a এবং ২=b ধরে]

={(a+b)÷২}²-{(a-b)÷২}² 

={(১২+২)÷২}²-{(১২-২)÷২}² 

={১৪÷২}²-{১০÷২}² 

=৭²-৫²

যে কোনো এক জোড়া গুণনীয়ক নিলেই দুটি বর্গের অন্তর রূপে প্রকাশ করা যায় তাই ২৪ এর আরেক জোড়া গুণনীয়ক উদাহরণ এ দেখানো হলো।

২৪ 

=২৪ x ১ 

=ab [২৪=a এবং ১=b ধরে]

={(a+b)÷২}²-{(a-b)÷২}² 

={(২৪+১)÷২}²-{(২৪-২)÷২}² 

={২৫÷২}²-{২২÷২}² 

=(১২.৫)²-১১² 

এখানে একটি সংখ্যা স্বাভাবিক আকারে আসেনি তাই স্বাভাবিক সংখ্যার দুটি বর্গের অন্তর রূপে প্রকাশ করতে বললে ২৪ x ১ না করে ২৪ এর অন্য গুণনীয়ক জোড়া দিয়ে দুটি বর্গের অন্তর রূপে প্রকাশ করতে হবে।

সংক্ষিপ্ত নিয়মে দুটি বর্গের অন্তর রূপে প্রকাশের নিয়মঃ

২৪ 

=২৫-১ [ইচ্ছা মতো ২৪ থেকে বড় সংখ্যা বাছাই করতে হবে যারা পূর্ণ বর্গ, ২৫ এবং ১ উভয়ি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা এবং দুটি সংখ্যা বিয়োগ করে বিয়োগ ফল ২৪ হচ্ছে]

=৫ x ৫ - ১ x ১

=৫² - ১² 

আবার,

২৪ 

=৩৬-১২  [৩৬ পূর্ণ বর্গ কিন্তু ১২ পূর্ণ বর্গ নয় তাই এটি না ধরায় ভালো]

আবার,

২৪ 

=৪৯-২৫ [৪৯ এবং ২৫ পূর্ণ বর্গ সংখ্যা এবং এদের বিয়োগফল ২৪]

=৭ x ৭ - ৫ x ৫

=৭² - ৫² 

[বিঃদ্রঃ পূর্ণ বর্গ সংখ্যা বলতে সেই সংখ্যাকে বোঝায় যাদের সমান দুটি সংখ্যায় ভাঙ্গা যায়, যেমন, ১=১ x ১, ৪৯=৭ x ৭, ৯=৩ x ৩ সুতারং ১, ৪৯ বা ৯ এর মতো সকল সংখ্যাকে পূর্ণ বর্গ সংখ্যা বলে।]

আশাকরি আমরা দুটি বর্গের অন্তর রূপে প্রকাশের নিয়ম সম্পর্কে সঠিক ধারনা পেয়েছি। উপরের কৌশল বা পদ্ধতি গুলো সহজেই প্রয়োগ করে আমরা দুটি রাশিকে বর্গের অন্তর রূপে প্রকাশ করতে পারবো।

বুঝতে সমস্যা হলে নিচে কমেন্ট করে জানালে খুশি হবো।

সকলের শুভকামনায় -

কে-মাহমুদ

২১-০২-২১